Dutormasi.com-Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari dan menyelesaikan soal menggunakan eliminasi gauss 3 x 3. Tapi jangan puas dulu sobat dutormasi, karena kamu masih butuh soal loo untuk memperlancar dan memahami pengerjaan soal sistem persamaan linear (SPL) menggunakan eliminasi gauss. Oke baiklah, pada kali ini kita akan mempelajari dan menyelesaikan soal untuk sistem persamaan linear (SPL) 4 variabel atau 4×4.

Eliminasi Gauss 4 x 4 untuk Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya

Hal yang membedakan dengan eliminasi gauss 3×3 dengan artikel ini adalah variabelnya yang lebih banyak yaitu 4 variabel.

Sistem persamaan linear 4 x 4
Bentuk umumnya :

a1x1+ b1x2 + c1x3 + d1x4 = p
a2x1 + b2x2 + c2x3 + d2x4 = q
a3x1 + b3x2 + c3x3 + d3x4 = r
a4x1 + b4x2 + c4x3 + d4x4 = s

Kemudian persamaan tersebut, kita jadikan sebuah matriks. Sehingga menjadi :
a b c d r
e f g h s
i j k l t
m n o p u
Hingga akhirnya akan membentuk segitiga atas dengan diperoleh nya nilai x4 nya. Seperti dibawah ini :

1 b c d r
1 g h s
1 l t
1 x4

Contoh Soal : 

Sistem Persamaan Linear (SPL) :

8x1 – 9x2 + x3 – 8x4 = 80
-3x1 – x2 + 5x3 + 4x4 = 7
-2x1 – x2 – 3x3 + 8x4 = -30
-2x1 – 8x2 – x3 + 2x4 = 18

Proses Penyelesaian :

Baca Juga :  Cara Mengaktifkan Mode Layar Terpisah (Split Screen) Android di Semua Smartphone

1. Langkah Awal yang harus kita lakukan adalah, membuat sistem persamaan linear tersebut menjadi matriks augmentasi.

8 -9 1 -8 80
-3 -1 5 4 7
-2 -1 -3 8 -30
-2 -8 -1 2 18
2. Kemudian kita mambuat baris pertama dan kolom pertama menjadi nilai angka 1dengan cara membagi baris 1 dibagi menjadi 8 atau R1/8.
8 -9 1 -8 80 R1/8
-3 -1 5 4 7
-2 -1 -3 8 -30
-2 -8 -1 2 18

Sehingga matriks diatas akan berubah menjadi :

1 -1.125 0.125 -1 10
-3 -1 5 4 7
-2 -1 -3 8 -30
-2 -8 -1 2 18

Note : R = row/baris

2. Selanjutnya kita akan menyederhanakan baris ke-2 , ke-3 dan ke-4 agar dapat menghasilkan angka 0 pada baris 2,3 dan 4 dan kolom 1.
Dengan Operasi pada baris 2 : R2-(-3R1)
Operasi pada baris ke 3 : R3-(-2R1)
Operasi pada baris ke 4 : R4-(-2R1)

1 -1.125 0.125 -1 10
-3 -1 5 4 7 R2-(-3R1)
-2 -1 -3 8 -30 R3-(-2R1)
-2 -8 -1 2 18 R4-(-2R1)

Dan akan berubah menjadi :

1 -1.125 0.125 -1 10
-4.375 5.375 1 37
-3.25 -2.75 6 -10
-10.25 -0.75 38
Baca Juga :  Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) 4 x 4 Menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan

3. Kemudian kita akan membuat angka 1 pada baris kedua dan kolom kedua dengan operasi R2/-4.375.

1 -1.125 0.125 -1 10
-4.375 5.375 1 37 R2/-4.375
-3.25 -2.75 6 -10
-10.25 -0.75 38

Dan diperoleh :

1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
-3.25 -2.75 6 -10
-10.25 -0.75 38
4. Lalu kita akan menyederhanakannya lagi agar mendapatkan angka 0 pada kolom 2 dan baris 3 dan 4. Dengan operasi pada baris ketiga : R3-(-3.25R2) dan pada baris keempat : R4-(-10.25R2).
1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
-3.25 -2.75 6 -10 R3-(-3.25R2)
-10.25 -0.75 38 R4-(-10.25R2)

Setelah dioperasikan akan menghasilkan :

1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
-6.74286 5.257143 -37.4857
-13.3429 -2.34286 -48.6857

5.  Seperti sebelumnya kita akan membuat angka 1 pada baris 3 dan kolom 3 dengan cara melakukan operasi R3/-6.74286

1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
-6.74286 5.257143 -37.4857 R3/-6.74286
-13.3429 -2.34286 -48.6857
Dan diperoleh :
1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
1 -0.77966 5.559322
-13.3429 -2.34286 -48.6857
6. Langkah selanjutnya membuat baris 4 dan kolom 3 menjadi angka 0. Dengan cara mengoperasikan R4-(-13.3429R3).
1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
1 -0.77966 5.559322
-13.3429 -2.34286 -48.6857 R4-(-13.3429R3)
Dan dihasilkan :
1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
1 -0.77966 5.559322
-12.7458 25.49153
7. Dan langkah terakhir, kita akan membuat baris 4 dan kolom 4 menjadi angka 1. Dengan melakukan operasi pada baris 4 yaitu : R4/-12.7458

1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
1 -0.77966 5.559322
-12.7458 25.49153 R4/-127458
Diperoleh menjadi :
1 -1.125 0.125 -1 10
1 -1.22857 -0.22857 -8.45714
1 -0.77966 5.559322
1 -2
Dari contoh di atas kita telah mendapatkan matriks dengan sifat segitiga atas, selanjutnya kita akan mensubsitusikan matriks tersebut.
X4 = -2
X3 = (5.55932 + (0.77966 x -2) ) = 4 
X2 = -8.45714 + 1.22857 (4) + 0.22857 (-2) = -4
X1 = 10 + 1.125 (-4) – 0.125 (4) + 1 (-2) = 3
 
Jadi dengan soal diatas, di dapatkan nilai (x1,x2,x3,x4) = (3, -4, 4 , -2) 
 
Bagaimana cukup mudah bukan? Semoga kamu dapat memahami yaa. Dan jika kamu suka artikel ini, jangan lupa share ke teman teman kamu yang membutuhkan. Semoga bermanfaat dan terimakasih 🙂